复分析研究复平面内的函数，即具有复参数和复输出的函数。本模块的主要目标是熟悉这类函数。最终，我们要研究它们的平稳性（即，我们要微分复变函数），因此我们需要了解复数序列以及复平面内的极限。在复变函数的研究中，我们将以二次多项式为例，通过观察某些二次多项式的迭代，进入美丽的复变动力学领域。 这样，我们就可以学习二次多项式 Julia 集合构造的基础知识。你将学到创建自己的美丽分形图像所需的一切知识。在本模块的最后，我们将定义并研究曼德布罗特集和复数动力学领域最大的杰出猜想之一。

在研究函数时，我们通常会对函数的局部行为感兴趣，更具体地说，就是函数如何随着参数的变化而变化。这将引导我们学习复微分--一个比微积分学到的更强大的概念。本模块开始时，我们将回顾微积分中的一些知识，然后学习复微分和考奇-黎曼方程，以便认识主要角色：解析函数。这些函数在很多地方都有复数导数；这一事实赋予了它们数学中一些最美丽的特性。在本模块的最后，我们将学习一些可复变的函数，如复变指数函数和复变三角函数。这些函数在实轴上与众所周知的实值对应函数一致！

本单元首先学习解析函数的反函数，如复对数（指数的反）和复根（幂的反）函数。为了拥有一个（局部）逆函数，解析函数需要有一个非零导数，我们将发现一个强有力的事实：在任何这样的地方，解析函数都保留了曲线之间的角度，因此是一个保角映射！我们将用两讲时间讨论非常特殊的保角映射，即莫比乌斯变换；这是几何分析中一些最基本的映射。我们将以著名的黎曼映射定理结束本单元。该定理通过共形映射将几何和复分析从单位盘转移到复平面的任意简单相连的子域，从而使我们能够研究复平面的任意简单相连的子域。

既然我们已经熟悉了复微分和解析函数，那么我们就可以开始处理积分问题了。但我们现在是在复平面上，那么我们要积分的对象是什么呢？曲线！我们将从研究曲线（"路径"）开始本单元的学习，然后熟悉复数路径积分。然后，我们将学习柯西美丽而全面的积分定理和公式。 接下来，我们将学习这些定理的一些强大后果，如柳维尔定理、最大值原理，信不信由你，我们还能用复分析来证明代数基本定理。这将是充满许多惊人成果的一周！

在本模块中，我们将学习解析函数的幂级数表示。我们将首先学习复数和复变函数的无穷级数及其收敛性质。幂级数特别容易理解，表现良好，易于操作。我们将了解到，每个解析函数都可以局部表示为幂级数，这使得通过多项式局部逼近解析函数成为可能。特别值得一提的是，我们将探索黎曼zeta函数，并将涉足目前已知的边缘领域，如黎曼假设及其与素数的关系。

劳伦特数列是了解奇点附近解析函数的有力工具。具有非负指数的幂级数可用来表示圆盘中的解析函数，而劳伦级数（可以具有负指数）在环面中也有类似的作用。本模块首先介绍劳伦特数列及其与解析函数的关系，然后继续研究解析函数孤立奇点并对其进行分类。我们会遇到一些强大而著名的定理，如 Casorati-Weierstraß 定理和 Picard 定理，这两个定理都有助于更好地理解解析函数在本质奇点附近的行为。最后，我们将准备处理残差定理，该定理有许多重要应用。我们将学习如何通过这一重要定理求残差和评估一些积分（甚至是实线上的一些实积分！）。

恭喜您完成了七周的课程！本模块包含本课程的期末考试。考试是累积性的，涵盖第 1-7 周讨论的主题。考试共有 20 道题，考试时间为两小时。您只有一次考试机会，但不必在两小时内完成考试。考试期间，讨论区将保持开放。在论坛上讨论任何考试问题的答案都是违反荣誉准则的。论坛只能用于讨论其他材料中的问题或提醒工作人员注意考试中的技术问题。