本讲座以递推关系概述开始，递推关系为我们提供了分析算法的直接数学模型。最后，我们将研究与合并排序算法相对应的分而治之递推关系的迷人振荡行为，以及相关递推关系的一般 "主定理"。

自 17 世纪以来，科学家们一直在使用生成函数来解决递归问题，因此我们将继续概述生成函数，并强调其在解决诸如计算 N 个节点的二叉树数量等问题中的实用性。

精确答案往往很麻烦，所以我们接下来要考虑一种科学的方法来得出近似答案，同样，数学家和科学家几个世纪以来一直在使用这种方法。

解析组合学有了递归、生成函数和渐近学的基础知识，您就可以学习和领会解析组合学的基本特征了，解析组合学是一种系统的方法，它避免了我们一直在考虑的经典方法中的许多细节。我们将介绍无标注和有标注的组合类，并通过大量实例来激发我们研究这些类的基本方法。

作为典型的递归结构，各种类型的树在科学探索中无处不在，在无数计算应用中也会明确出现。您可以在教科书中找到广泛的内容，但本讲座的重点是使用分析组合学来列举各种类型的树并研究参数。

对排序算法的研究就是对排列组合性质的研究。我们介绍在这种关系背景下研究排列组合的分析-组合方法。

从 DNA 序列到网络索引，字符串（字符序列）在现代计算应用中无处不在，因此我们使用解析组合学来研究它们的基本属性，然后引入三元组，这是经典组合学中没有的重要基本结构。

我们将字符串视为字符集或从[1...N]到[1...M]的函数，以研究经典占位问题及其在基本哈希算法中的应用。从 [1...N] 到 [1...N] 的函数是映射，具有有趣而复杂的结构，我们可以用解析组合学来研究。