在第 2 周，我们将介绍有限差分法的基本定义。我们将学习如何使用泰勒级数估计导数的有限差分近似误差，以及如何使用较长的算子提高近似的精度。我们还将学习如何使用 Python 实现数值导数。

我们开发了一维声波方程的有限差分算法，讨论了边界条件和如何初始化模拟示例。我们使用 Python 实现查看解决方案，并观察数值伪影。我们通过分析推导出数值分析最重要的结果之一--CFL 准则，它为显式有限差分方案带来了条件稳定算法。

我们开发了二维声波方程的解法，与分析解法进行了比较，并展示了数值（非物理）各向异性现象。我们将冯-诺依曼分析法扩展到二维，并通过分析得出数值各向异性。我们学习了如何初始化一个现实的物理问题，并说明二维解法已经非常强大，可以理解复杂的波现象。我们介绍了一维弹性波方程，并展示了交错网格方案与一阶速度-应力耦合公式的概念。

我们从函数插值问题开始，引出傅里叶级数的概念。我们将讨论离散傅里叶级数，并强调它们在规则空间网格上的精确插值特性。我们介绍了使用离散傅里叶变换的函数导数，并将其用于求解一维和二维声波方程。由于需要模拟有限区域内的波，我们提出了切比雪夫多项式的定义，并将其用作函数插值的基函数。我们提出了微分矩阵的概念，并讨论了使用切比雪夫多项式求解弹性波方程的方案。

我们引入了有限元的概念，并发展了波方程的弱形式。我们讨论了 Galerkin 原理，并推导出基于线性基函数的静态弹性问题有限元算法。 我们还讨论了如何实现边界条件。我们还针对同一方程推导了基于有限差分的松弛法，并将其解法与有限元算法进行了比较。

我们将有限元求解扩展到弹性波方程，并将求解方案与有限差分法进行比较。为了便于直接比较，我们以矩阵矢量形式提出了有限差分解法，并证明了线性有限元方法与有限差分方法的相似性。我们引入了 h-adaptivity 概念，即异质介质元素尺寸的空间依赖性。

我们介绍了为一维弹性波方程开发求解方案的谱元法的基本原理。讨论了拉格朗日多项式作为基函数的选择。我们还介绍了高斯-洛巴托-列根德数值积分的概念，并证明它可导致对角质量矩阵，使其反演变得微不足道。

我们最终完成了弹性波方程谱元解的推导。我们展示了如何利用 Legendre 多项式计算所需的拉格朗日多项式导数。我们展示了如何执行组装步骤，从而得到弹性波方程的最终求解系统。我们演示了同质和异质介质的数值解法。