我们将欧拉数值方法推广到二阶 ODE。然后，我们提出了两个用于线性方程的理论概念：叠加原理和 Wronskian。利用这些概念，我们可以找到具有常数系数的均质二阶 ODE 的解析解。我们利用指数解析法，将常数系数 ODE 转换为二阶多项式方程，即 ODE 的特征方程。特征方程可能有实根或复根，我们将学习不同情况下的求解方法。

现在，我们在恒系数 ODE 中加入一个非均质项。非均质项可以是指数、正弦或余弦，也可以是多项式。我们还将研究共振现象，即强迫频率等于振荡器固有频率时的共振现象。最后，我们将学习三个重要的应用：RLC 电路、弹簧上的质量和钟摆。

我们提出了两种求解线性 ODE 的新分析求解方法。第一种是拉普拉斯变换法，用于求解带有不连续或脉冲非均质项的常系数 ODE。一般来说，拉普拉斯变换是在易于理解的背景下介绍复杂积分变换技术的良好工具。我们还介绍了线性 ODE 的级数解法。虽然我们在此不作深入探讨，但对于在更高级课程中再次遇到这一问题的学生来说，介绍这一技术可能会有所帮助。

我们将学习如何求解一个具有常数系数的同次一阶微分方程耦合系统。这个一阶微分方程系可以矩阵形式书写，我们将学习如何将这些方程转换为标准矩阵代数特征值问题。然后使用相位肖像将二维解形象化。接下来，我们将学习耦合谐振子的重要应用以及法向模态的计算。法向模态是指组成系统的各个质点以相同频率振荡的运动。然后，我们将应用该理论求解由两个耦合谐振子组成的系统，并使用法向模态分析系统的运动。

要学习如何求解偏微分方程 (PDE)，我们首先要定义傅立叶级数。然后，我们推导出一维扩散方程，这是一个描述染料在管道中扩散的偏微分方程。然后，我们使用变量分离法求解这个 PDE。这包括将 PDE 分成两个常微分方程 (ODE)，然后使用解决 ODE 的标准技术来解决这两个方程。然后，我们利用这两个 ODE 的解和我们对傅里叶级数的定义来恢复原始 PDE 的解。