寻根是一种数值技术，用于确定给定函数的根或零点。我们将探讨几种寻根方法，包括 Bisection 法、牛顿法和 Secant 法。我们还将推导出这些方法的收敛阶次。此外，我们还将演示如何在 MATLAB 中使用牛顿法计算牛顿分形，并讨论可用于求根的 MATLAB 函数。在您的编程项目中，您将使用牛顿法编写 MATLAB 代码，根据逻辑图的分叉图计算费根鲍姆三角。

数值线性代数是在计算机上进行矩阵代数的术语。在对大型矩阵进行高斯消元法运算时，舍入误差可能会影响计算结果。这些误差可以使用部分透视法来缓解，即在每个消元步骤前交换行。然后，LU 分解算法必须包含置换矩阵。 我们还将讨论操作计数和 big-Oh 符号，以预测计算时间随问题规模增大而增加。我们将展示如何计算高斯消元、正向置换和反向置换所需的操作次数。我们将解释计算矩阵最大特征值的幂方法。最后，我们将演示如何使用高斯消元法，用牛顿法求解非线性微分方程系。 在编程项目中，您将编写一段 MATLAB 代码，将牛顿法应用于洛伦兹方程。

定积分的计算称为正交。 我们将探索正交的基本原理，包括梯形法则和辛普森法则的基本公式；开发复合积分规则；介绍高斯正交；构建自适应正交例程，由软件决定适当的积分步长；以及使用 MATLAB 函数 integral.m。 一个好的插值例程可以估计中间采样点的函数值。 我们将学习线性插值和三次样条插值，线性插值通常用于绘制点较多的数据，而三次样条插值则用于数据点稀疏的情况。 在编程项目中，您将编写 MATLAB 代码来计算贝塞尔函数的零点。 这项任务需要结合正交和寻根例程。

我们将学习常微分方程 (ODE) 的数值积分。我们将介绍欧拉方法（一种单步一阶方法）和 Runge-Kutta 方法，后者将欧拉方法扩展到多步和高阶，允许更大的时间步长。 我们将展示如何构建二阶 Runge-Kutta 方法族，讨论广泛使用的四阶 Runge-Kutta 方法，并采用这些方法求解 ODE 系统。我们将演示如何使用 MATLAB 函数 ode45.m，以及如何使用射击法求解两点边界值 ODE。在编程项目中，您将对引力二体问题进行数值模拟。

我们将学习如何求解偏微分方程 (PDE)。虽然这是一个庞大的课题，有各种专门的求解方法，如计算流体力学中的求解方法，但我们将对这一课题进行基本介绍。我们将把 PDE 解法分为边界值问题和初值问题。 然后，我们将应用有限差分法求解 PDE。 我们将用两种方法求解拉普拉斯方程（边界值问题）：一种是通过高斯消元法求解的直接方法；另一种是渐近求解的迭代法。接下来，我们将使用 Crank-Nicolson 方法求解一维扩散方程，这是一个初值问题。我们还将采用冯-诺依曼稳定性分析法来确定时间积分方案的稳定性。在编程项目中，您将使用 Crank-Nicolson 方法求解二维扩散方程。